扩展KMP

Tang7O

ACM算法

发布于：2020年4月10日

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1、扩展KMP是什么？解决何种问题？与KMP算法的异同？

• 拓展kmp是对KMP算法的扩展，它解决如下问题： 定义母串S，和字串T，设S的长度为n，T的长度为m，求T与S的每一个后缀的最长公共前缀，也就是说，设extend数组,extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀，要求出所有extend[i](0<=i<n)。
• 注意到，如果有一个位置extend[i]=m,则表示T在S中出现，而且是在位置i出现，这就是标准的KMP问题，所以说拓展kmp是对KMP算法的扩展，所以一般将它称为扩展KMP算法。
• 图例：
  -S=”aaaabaa”，T=”aaaaa”,首先，计算extend[0]时，需要进行5次匹配，直到发生失配。从而得知extend[0]=4。
  
  • 下面计算extend[1]，在计算extend[1]时，是否还需要像计算extend[0]时从头开始匹配呢？答案是否定的，因为通过计算extend[0]=4，从而可以得出S[0,3]=T[0,3]，进一步可以得到 S[1,3]=T[1,3],计算extend[1]时，事实上是从S[1]开始匹配。

2、拓展kmp算法一般步骤

• **1、**首先我们从左到右依次计算extend数组，在某一时刻，设extend[0...k]已经计算完毕，并且之前匹配过程中所达到的最远位置为P，所谓最远位置，严格来说就是i+extend[i]-1的最大值（0<=i<=k）,并且设取这个最大值的位置为po，如在上一个例子中,计算extend[1]时，P=3，po=0。

• **2、**现在要计算extend[k+1],【注意啦！这里我们推的是k+1的公式，而在代码中是写的k的公式，会差一个1，不要搞错咯！】根据extend数组的定义，可以推断出S[po,P]=T[0,P-po],从而得到 S[k+1,P]=T[k-po+1,P-po],令len=next[k-po+1]，(这里len也就是可以从头开始匹配上的字符长度)，分两种情况讨论：
  • 2.1 第一种情况：k+len < P
    • 2.1.1
      也就是说从T字符串的k - po + 1位置推断出的从T的0开头可以匹配的长度len并没有超过现有P的大小，而po - p之间的字符是可以被匹配的这一事实我们已经检验过，所以可以确保从k+1 ~ k + len的字符，确实可以从T头开始匹配len的长度
  • **2.1.2 **
  • 2.1.3
    上图中，S[k+1,k+len]=T[0,len-1]，然后S[k+len+1]一定不等于T[len]，因为如果它们相等，则有S[k+1,k+len+1]=T[k+po+1,k+po+len+1]=T[0,len],那么next[k+po+1]=len+1，这和next数组的定义不符(next[i]表示T[i,m-1]和T的最长公共前缀长度)，所以在这种情况下，不用进行任何匹配，就知道extend[k+1]=len。
  • **2.2 ** 第二种情况：k+len>=P
    • 2.2.1
      也就是说从T字符串的k - po + 1位置推断出的从T的0开头可以匹配的长度len已经超过了现有P的大小，而po - p之间的字符是可以被匹配的这一事实我们已经检验过，但超过p的部分我们并没有匹配过，所以不能确保从k +1~ k + len的字符是否可以从T头开始匹配len的长度，只能说至少可以确定k+1 ~ p是匹配的，而p + 1 ~ k + len的部分还需要进一步比对 。
    • **2.2.2 **
    • 2.2.3
      上图中，S[p+1]之后的字符都是未知的，也就是还未进行过匹配的字符串，所以在这种情况下，就要从S[P+1]和T[P-k+1]开始一一匹配，直到发生失配为止，当匹配完成后，如果得到的extend[k+1]+(k+1)大于P则要更新未知P和po。(得到的extend[k+1]+(k+1)至少都是p,要么就比p还大，所以在更新完extend之后，直接让p= extend即可）。
• **3、**至此，拓展kmp算法的过程已经描述完成，事实上，计算next数组的过程和计算extend[i]的过程完全一样，将它看成是以T为母串，T为字串的特殊的拓展kmp算法匹配就可以了，计算过程中的next数组全是已经计算过的，所以按照上述介绍的算法计算next数组即可。

3、时间复杂度分析

通过上面的算法介绍可以知道，对于第一种情况，无需做任何匹配即可计算出extend[i]，对于第二种情况，都是从未被匹配的位置开始匹配，匹配过的位置不再匹配，也就是说对于母串的每一个位置，都只匹配了一次，所以算法总体时间复杂度是O(n)的，同时为了计算辅助数组next[i]需要先对字串T进行一次拓展kmp算法处理，所以拓展kmp算法的总体复杂度为O(n+m)的。其中n为母串的长度，m为子串的长度。

4、核心代码模板

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const int maxn = 100010; //字符串长度最大值
int next[maxn], ex[maxn]; //ex数组即为extend数组
//预处理计算next数组
void GETNEXT(char *str)
{
    int i = 0, j, po, len = strlen(str);
    next[0] = len; //初始化next[0]，因为从0开头就可以匹配整个T，故为len   /*与EXKMP代码不同处：无这句话*/
    while(str[i] == str[i + 1] && i + 1 < len) //计算next[1]  /*与EXKMP代码不同处：比较s1和s2*/
        i++;
    next[1] = i;/*与EXKMP代码不同处：ex[0]=i*/
    po = 1; //初始化po的位置  /*与EXKMP代码不同处：po = 0*/
    for(i = 2; i < len; i++)/*与EXKMP代码不同处：i从1开始*/
    {
        if(next[i - po] + i < next[po] + po) //第一种情况，可以直接得到next[i]的值  /*与EXKMP代码不同处：next[i-po]+i
            next[i] = next[i - po];/*与EXKMP代码不同处：ex[i]=next[i-po];*/
        else//第二种情况，要继续匹配才能得到next[i]的值
        {
            j = next[po] + po - i;/*与EXKMP代码不同处：j=ex[po]+po-i;*/
            if(j < 0)j = 0; //如果i>po+next[po],则要从头开始匹配
            while(i + j < len && str[j] == str[j + i]) //计算next[i]  /*与EXKMP代码不同处：i+j
                j++;
            next[i] = j;/*与EXKMP代码不同处：ex[i]=j;*/
            po = i; //更新po的位置
        }
    }
}
//计算extend数组
void EXKMP(char *s1, char *s2)
{
    int i = 0, j, po, len = strlen(s1), l2 = strlen(s2);
    GETNEXT(s2);//计算子串的next数组
    while(s1[i] == s2[i] && i < l2 && i < len) //计算ex[0]
        i++;
    ex[0] = i;
    po = 0; //初始化po的位置
    for(i = 1; i < len; i++)
    {
        if(next[i - po] + i < ex[po] + po) //第一种情况，直接可以得到ex[i]的值
            ex[i] = next[i - po];
        else//第二种情况，要继续匹配才能得到ex[i]的值
        {
            j = ex[po] + po - i;
            if(j < 0)j = 0; //如果i>ex[po]+po则要从头开始匹配
            while(i + j < len && j < l2 && s1[j + i] == s2[j]) //计算ex[i]
                j++;
            ex[i] = j;
            po = i; //更新po的位置
        }
    }
}

更新于：2022年4月13日

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